电磁场与电磁波这门课程，主体是大量的公式推导计算，从而去理解电磁学的整个体系框架，因此在此记录主要为各方程。

矢量分析

主体还是高数的那些内容。
首先是三种常用正交坐标系：

坐标系

直角坐标系：直观理解，在此不过多阐述。
圆柱坐标系：圆柱坐标系的三个坐标分量为$ r,\varphi,z $ , 他们的变化范围分别是：$0 \leq r < \infty , 0 \leq \varphi \leq 2\pi,-\infty < z < \infty$.
圆柱坐标系和直角坐标系之间的变换关系是: $r=\sqrt{ x^2+y^2},tan\varphi = \frac{y}{x} ,z=z$
或者是：$x=rcos\varphi ,y=rsin\varphi, z=z$.
圆柱坐标系的三个单位矢量也相互正交（两两点乘为0，叉乘为第三个单位向量）
注意，单位矢量中 $e_r,e_{\varphi}$ 的不是常矢量，它们的方向随位置的变化而变化。
圆柱坐标系的微分线元为： $\frac{de_r}{d\varphi}=-e_x sin\varphi +e_y cos\varphi = e_{\varphi} , \quad \quad \frac{de_{\varphi}}{d\varphi}=-e_x cos\varphi - e_y sin\varphi = -e_r$

$$dr=e_r dr+e_zdz+e_\varphi r d\varphi$$

体积元为 $dV=rdrd\varphi dz$

球坐标系：球系的三个坐标分量为$ r,\varphi,\theta $ , 他们的变化范围分别是：$0 \leq r < \infty , 0 \leq \varphi \leq 2\pi, 0 \leq \theta \leq \pi$.
球坐标系和直角坐标系之间的变换关系是: $r=\sqrt{ x^2+y^2+z^2},tan\varphi = \frac{y}{x} ,tan \theta =\frac{x^2+y^2}{z}$
或者是：$x=rcos\varphi ,y=rsin\varphi, z=rcos\theta$.
球坐标系的三个单位矢量也相互正交（两两点乘为0，叉乘为第三个单位向量）
注意，球坐标系的三个单位矢量不是常矢量，它们的方向随位置的变化而变化。
圆柱坐标系的微分线元为： $dr=e_r dr+e_{\theta}rd\theta +e_\varphi r sin\theta d\varphi$
体积元为 $dV=r^2 sin\theta dr d\theta d\varphi$

建议认真推一遍，笔者在重推的过程中处理了不少高等数学的历史遗留问题。

矢量的微分

矢量可以看作是各个方向上的函数的线性组合，求矢量场的微分相当于在求各个方向不同自变量的偏微分。

散度&旋度&梯度

由于数学包的问题，环路积分符号无法敲出，之后会用图片代替。

亥姆霍兹定理

一个矢量场可以表示为一个无旋的散度场和一个无散的旋度场的叠加，该种方式是唯一的，即：$F(r)= - \bigtriangledown \phi (r) + \bigtriangledown \times A(r)$
其中 $\phi(r) = \frac{1}{4 \pi } \int_{v'} \frac{ \bigtriangledown ' \dot F(r')}{|r-r'|} \quad \quad A(r) = \frac{1}{4 \pi } \int_{v'} \frac{ \bigtriangledown ' \times F(r')}{|r-r'|}$
其中|r-r’|为源点(r)到场点(r’)的距离，算子 $\bigtriangledown '=e_x \frac{\partial}{\partial x'} +e_y \frac{\partial}{\partial y'} +e_z \frac{\partial}{\partial z'}$
是对源点坐标微分，积分也是对原点坐标积分

静电场分析

电荷与电荷分布

体电荷密度：当电荷在某一空间体积连续分布时，用体电荷密度来描述电荷在空间中的分布特性，体电荷密度定义为空间某点处单位体积中的电荷量，即$\rho(r)=lim_{\Delta V \to 0} \frac{\Delta q}{\Delta V}$
通过体积分可以求出某个体积V中总的电量，即$q=\iiint_V \rho(r)dV$
面电荷密度：可以将电荷在一个极薄的薄层空间中的连续分布视为面电荷分布，用面电荷密度来描述面电荷的分布特性，面电荷密度定义为某点处单位面积中的电荷量，即$\rho s(r)=lim_{\Delta S \to 0} \frac{\Delta q}{\Delta S}$
通过面积分可以求出某个曲面S中总的电量，即$q=\iint_V \rho(r)dS$
线电荷密度：将电荷在半径极小的管型空间中的分布视为线电荷分布，用线电荷密度来描述线电荷的分布特性，线电荷密度定义为某点处单位长度中的电荷量，即$\rho l(r)=lim_{\Delta l \to 0} \frac{\Delta q}{\Delta l}$
通过面线积分可以求出某条曲线S中总的电量，即$q=\int_V \rho(r)dl$
点电荷与点电荷的 $\delta$ 函数表示法 ：点电荷为电磁场理论中的一个理想模型，点电荷的电量为q，占据的体积为趋近为0的一个几何点。显然，点电荷所在的体电荷密度趋近于无穷大，为了定量描述点电荷的分布，定义 $\delta$ 函数 $\delta (r-r')= \begin{cases} 0 \quad \quad r \ne r' \\\\ \infty \quad \quad r =r' \end{cases}$

$$\iiint_V \delta (r-r')dV= \begin{cases} 0 \quad \quad r'不在V内 \\\\ \infty \quad \quad r'在V内 \end{cases}$$

可以用 $\delta$ 函数表示点电荷的体电荷密度 $\rho(r)=q\delta (r-r')= \begin{cases} 0 \quad \quad r \ne r' \\\\ \infty \quad \quad r =r' \end{cases}$
对于点电荷，空间任意体积V中总的电量Q可以得到$Q=\iiint_V \rho(r)dV = q\iiint_V \delta (r-r')dV= \begin{cases} 0 \quad \quad r'不在V内 \\\\ q \quad \quad r'在V内 \end{cases}$

场强E与电位$\Phi$

场强E与电位$\Phi$是研究电磁场基础的两个物理量
定义式分别为$\begin{cases} E(r)=\frac{F(r)}{q_0} \quad 空间某点场强 \\\\ \Phi(r)=\int_P^Q E \cdot dl \quad 空间某点电位 \end{cases}$
场强E与电位$\Phi$之间相互转换：$\begin{cases} E(r)=-\bigtriangledown \Phi (r) \\\\ \Phi(r)=\int_P^Q E \cdot dl \end{cases}$
由真空中两个静止的点电荷之间的相互作用力$F=\frac{1}{4\pi \epsilon_0 }\frac{q1q2}{r^2}e_r$可推出$E=\frac{1}{4\pi \epsilon_0 }\frac{q1}{r^2}e_r$
以及点电荷电位：$\Phi(r)= \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q(r')}{R}$

静电场基本方程

同 见图片

静电场中的导体

静电场中导体内场强处处为0
导体是等位体，导体的表面为等位面
导体内无电荷分布，电荷只分布在导体表面.孤立导体表面的电荷分布与曲率有关。曲率较大（凸出且尖锐）的地方面电荷密度较大，曲率较小（平坦）的地方，面电荷密度也较小，曲率为负值（凹进去）的地方，面电荷密度更小。
导体表面附近，电场强度的方向与表面垂直。电场强度的大小等于该点附近导体表面的面电荷密度除以真空中介电常数，所以导体表面附近的电场强度为$E=\hat{n} \frac{\rho s}{\epsilon_0}$,其中$\hat{n}$为导体表 面处的单位法线向量，可以用高斯定理证明。

电介质

分为线性与非线性介质，各向同性与各向异性介质，均匀介质与非均匀介质。
线性介质指介质的性质是线性的，比如随着温度的升高，声速等比例增长。（可能是在一定范围内的近似）
各向同性，指各各方向上性质相同，比如空气中的声速朝各方向都相同。而不是在水平方向和竖直方向不同。
均匀介质是指介质在一定范围内是均匀的，而不是一些地方疏、一些地方密。
这三种性质相似，可以同时存在，但互不相同，相互独立。
主要学习的是线性，各向同性，均匀介质中电场的特性，满足有关系$P=\epsilon_0 \chi_e E \quad \quad D=\epsilon_0 \epsilon_r E \quad \quad \epsilon_r =1+\chi_e$
P为极化强度。$\chi_e$为电介质的磁化率（比例系数），对于线性介质与E无关。

高斯定理

真空中静电场穿过任一闭合曲面的电场强度通量等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以$/epsilon_0$。
注：高斯面为闭合曲面，说明了通过整个闭合回路的电场强度只与闭合曲面内部电荷有关。而曲面上任意一点电场强度不仅与曲面内部电荷有关，还与曲面外部电荷有关。同时还说明了电场为有源场。